De meest gespannen periode van de Koude Oorlog duurde van omstreeks 1950 tot 1975. Het was de periode waarin de doctrine heerste van veiligheid door wederzijdse afschrikking. Het westen en het Sovjet-blok hadden zó’n grote atoombewapening opgebouwd dat ze elkaar vele malen konden vernietigen. Veel mensen leefden in de voortdurende angst dat iemand op de “rode knop” zou drukken. Een van de meest riskante momenten was de Cuba-crisis in 1962. Later zeiden politici en historici dat de wereld in deze 25 jaar langs de rand van de afgrond was gegaan.
Het is gelukkig goed afgelopen. Maar hoe groot is de kans geweest dat er inderdaad een oorlog was uitgebroken? De grootte van die kans is moeilijk in te schatten, maar hij is substantieel geweest. Degenen die geloven in de doctrine dat wederzijdse afschrikking (een oorlog die zo erg wordt dat niemand er aan durft te beginnen) een garantie is voor veiligheid doen goed te beseffen dat vasthouden aan deze doctrine statistisch gezien op de lange duur onvermijdelijk tot een atoomoorlog zal leiden. Als een periode met een kleine kans op atoomoorlog wordt gevolgd door weer een periode met een kleine kans op atoomoorlog, en daarna nog een, en daarna nog een, enzovoort, gaat het onherroepelijk een keer fout. Dat is een kwestie van kansberekening.
xxxx
Om deze berekening duidelijk te maken eerst een voorbeeld met het werpen van een dobbelsteen. Maar we gebruiken een dobbelsteen met een heel bijzondere eigenschap: als hij op 4 komt (willekeurig gekozen) ontploft hij en is het spel afgelopen.
Er zijn nu allerlei uitslagen mogelijk: bijvoorbeeld:
Eerste worp een 4. Dan is het spel meteen afgelopen.
Eerste worp geen 4, tweede worp wel een 4.
Eerste worp geen 4, tweede worp geen 4, derde worp wel een 4.
Eerste worp geen 4, tweede worp geen 4, ………… achtste worp een 4.
Enzovoort.
We definiëren nu de variabele x = aantal worpen dat er geen 4 wordt gegooid.
Dan is het aantal waarden die x kan aannemen: x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ……
Even ter toelichting: Bij het werken met een gewone dobbelsteen (die niet ontploft) wordt ook altijd een x gedefinieerd. Dan is x de mogelijke uitkomst van één worp. Die kan dus de waarden 1, 2, 3, 4, 5, of 6 aannemen.
De kansen daarop zijn: (P is probability is kans)
P (eerste worp geen 4) = P(x≥1) = 5/6 = 0.8333
P (eerste en tweede worp geen 4) = P(x≥2) = (5/6)2 = 0.6944
P (1e, 2e, en 3e worp geen 4) = P(x≥3) = (5/6)3 = 0.5787
P(1e, 2e, 3e en 4e worp geen 4) = P(x≥4) = (5/6)4 = 0.4823
P(1e, 2e, 3e, 4e en 5e worp geen 4) = P(x≥5) = (5/6)5 = 0.4019
P(1e, 2e, 3e, 4e, 5e en 6e worp geen 4) = P(x≥6) = (5/6)6 = 0.3350
P(1e, 2e, 3e, 4e, 5e, 6e en 7e worp geen 4) = P(x≥7) = (5/7)7 = 0.2792
P(1e, 2e, 3e, 4e, 5e, 6e, 7e en 8ste worp geen 4) = P(x≥8) = (5/6)8 = 0.2326
P (eerste en tweede worp geen 4) = P(x≥2) = (5/6)2 = 0.6944
P (1e, 2e, en 3e worp geen 4) = P(x≥3) = (5/6)3 = 0.5787
P(1e, 2e, 3e en 4e worp geen 4) = P(x≥4) = (5/6)4 = 0.4823
P(1e, 2e, 3e, 4e en 5e worp geen 4) = P(x≥5) = (5/6)5 = 0.4019
P(1e, 2e, 3e, 4e, 5e en 6e worp geen 4) = P(x≥6) = (5/6)6 = 0.3350
P(1e, 2e, 3e, 4e, 5e, 6e en 7e worp geen 4) = P(x≥7) = (5/7)7 = 0.2792
P(1e, 2e, 3e, 4e, 5e, 6e, 7e en 8ste worp geen 4) = P(x≥8) = (5/6)8 = 0.2326
Enzovoort
Het is ter controle nuttig de som van deze reeks te berekenen:
Gebruik daarvoor de bekende formule 1 + r + r2 = r3 + …. = 1/(1-r)
of: r + r2 = r3 + …. = 1/(1-r) -1
Dus: 5/6 + (5/6)2 + (5/6)3 + …. = 1 / (1/6) – 1 = 6 – 1 = 5
Laten we dit toepassen op de koude oorlog. De periode van werkelijk gevaar was ongeveer 25 jaar. Hoe groot was de kans op het uitbreken van een atoomoorlog in die periode? Die kans valt niet te berekenen, hij moet worden geschat (het maken van een schatting voor een kans is in de kansberekening heel normaal, zo’n schatting wordt “subjectieve kans” genoemd).
Stel x = aantal perioden dat er nog geen atoomoorlog is uitgebroken. Dan is:
Kans dat gedurende een eeuw geen atoomoorlog uitbreekt is P(x=4) = 0.4823
Kans dat gedurende 2 eeuwen geen atoomoorlog uitbreekt is P(x=8) = 0.2326
Kans dat gedurende 2 eeuwen geen atoomoorlog uitbreekt is P(x=8) = 0.2326
xxxx
Laten we ook de verwachtingswaarde van x berekenen, dus het te verwachten aantal perioden van 25 jaar die voorafgaan aan het uitbreken van een atoomoorlog. Hiervoor is meer wiskunde nodig. Eerst het voorbeeld van de dobbelsteen.
In het voorafgaande is berekend hoe groot de kans is dat bijvoorbeeld de eerste twee worpen met een dobbelsteen geen fatale 4 opleverden. Dus P(x≥2) = (5/6)2. Hierbij deden eventuele latere worpen er niet toe, er hadden best nog een paar worpen zonder 4 kunnen volgen. Maar nu moeten we eerst weten wat de kans is op precies twee, dus P(x=2). Om daar achter te komen moeten we ook een derde worp doen en de uitslag daarvan moet een (fatale) 4 zijn. De kans daarop is 1/6. De kans dat x precies 2 is is dus P(x=2) = (5/6)2 (1/6).
Dan wordt de berekening van de verwachtingswaarde:
x = aantal worpen dat er nog geen fatale 4 wordt gegooid:
E (x) = 1 P(x=1) + 2 P(x=2) + 3 P(x=3) + …………..
= 1 (5/6)(1/6) + 2 (5/6)2(1/6)+ 3 (5/6)3(1/6) + …….
E (x) = 1 P(x=1) + 2 P(x=2) + 3 P(x=3) + …………..
= 1 (5/6)(1/6) + 2 (5/6)2(1/6)+ 3 (5/6)3(1/6) + …….
= (1/6) {1 (5/6) + 2 (5/6)2 + 3 (5/6)3 + ……}
Dit is een machtreeks, maar nogal een ongewone.
We willen de waarde hiervan berekenen.
Iedereen kent van de middelbare school de reeks:
1 + r + r2 + r3 + … = 1/ (1-r)
Met enig rekenwerk kun je hieruit afleiden:
1 + 2r + 3r2 + 4r3….. = 1/ (1-r)2
Maar dat is nog niet de gezochte reeks. Na vermenigvuldiging van beide zijden naast het = teken met r krijgen we:
r + 2r2 + 3r3 + 4r4….. = r/ (1-r)2
We komen dus op de algemene formule: E (x) = (1-r) * r/ (1-r)2 = r / (1-r).
Iedereen kent van de middelbare school de reeks:
1 + r + r2 + r3 + … = 1/ (1-r)
Met enig rekenwerk kun je hieruit afleiden:
1 + 2r + 3r2 + 4r3….. = 1/ (1-r)2
Maar dat is nog niet de gezochte reeks. Na vermenigvuldiging van beide zijden naast het = teken met r krijgen we:
r + 2r2 + 3r3 + 4r4….. = r/ (1-r)2
We komen dus op de algemene formule: E (x) = (1-r) * r/ (1-r)2 = r / (1-r).
Er geldt dus algemeen:
E (x) = r / (1-r) met r = kans op niet fatale worp.
Voor een dobbelsteen geldt dus dat het te verwachten aantal worpen vóór de fatale 4 wordt gegooid gelijk is aan:
(5/6) / (1-5/6) = (5/6) / (1/6) = 5.
(5/6) / (1-5/6) = (5/6) / (1/6) = 5.
xxxx
Dit kunnen we rechtstreeks toepassen op de Russische roulette die de wereld speelt met het dreigen met atoomoorlog. Dan wordt de conclusie:
De te verwachten tijd die er verstrijkt voor er een atoomoorlog uitbreekt is 5 perioden van 25 jaar = 125 jaar.
De veronderstelling hierbij is dus dat de kans die we tijdens de koude oorlog hebben gelopen op een atoomoorlog 1/6 is. Lijkt mij een reële schatting.
xxxx
Met dank aan twitteraar @marcelwissing, die een serieuze fout in mijn oorspronkelijke verhaal ontdekte.
(19-24 maart 2022)
xxxx
xxxx
xxxx